Modul 1 » Parallaxen

Was bedeutet Parallaxe? Ganz allgemein, auch ausserhalb der Astronomie, beschreibt Parallaxe die scheinbare Verschiebung der Position eines nahen Objektes relativ zu Hintergrundobjekten wenn sich die Blickrichtung zu diesem nahen Objekt ändert. Diesen Effekt hat jeder schon mal beobachtet. Zum Beispiel "bewegt" sich ein Baum scheinbar vor Bergen am Horizont, wenn man an ihm vorbeiläuft. Je näher man dem Baum ist, desto mehr "bewegt" er sich relativ zu den Bergen, bei jedem Schritt. Oder anders gesagt: desto größer ist seine Parallaxe. Eine Parallaxe misst man immer als ein Winkel.

Wenn man nun die Parallaxe eines Baums nach einem Schritt misst, und die Schrittlänge kennt, lässt sich daraus die Entfernung des Baumes errechnen. Und das lässt sich tatsächlich auch mit Sternen machen. Vorausgesetzt, der "Schritt" ist lang genug, so dass die Parallaxe des Sterns auch beobachtet werden kann.

Sternparallaxen

Nahegelegene Sterne scheinen sich im Laufe des Jahres auf einer kleinen Ellipse relativ zu entfernten Hintergrundgalaxien zu bewegen. Der Grund dafür ist, dass die Erde innerhalb eines Jahres einen Umlauf um die Sonne macht. Dieses Phänomen können wir uns zunutze machen, um die Entfernung zu nahegelegenen Sternen zu berechnen. Unser "Schritt" entspricht hier also dem Radius $R$ der Erdumlaufbahn!

Abhängig von der Position des Sternes am Himmel ist die kleine Ellipse auf der er sich im Laufe des Jahres bewegt mehr oder weniger flach.

Ganz unabhängig von der Position auf der Himmelskugel ist der große Durchmesser dieser Ellipse für Sterne einer bestimmten Entfernung immer gleich. Die Parallaxe $\pi_p$ eines Sterns entspricht der großen Halbachse der Ellipse, und kann also prinzipiell überall am Himmel gemessen werden.

Darstellung der Sternparallaxen am gesamten Himmel.

Von der Parallaxe zur Entfernung

Wir werden gleich zeigen, wie man aus dem Parallaxenwinkel $\pi_p$ die Entfernung $D$ eines Sterns berechnen kann. Bevor wir zu dieser Herleitung kommen, nehmen wir das Ergebnis aber schon mal vorweg. Denn die Formel es verblüffend einfach. Sie lautet:

D\,[\text{pc}]=\frac{1}{\pi_p\,['']}

Die Entfernung $D$ ist also einfach der Kehrwert des Parallaxenwinkels $\pi_p$ , vorausgesetzt man verwendet die richtigen Einheiten. Dafür stehen die Symbole in den eckigen Klammern [ ]. Die Parallaxe muss in Bogensekunden (Symbol $''$ ) angegeben werden, und die Entfernung bekommt man dann in Parsec ( $\mathrm{pc}$ ). Wenn eine Parallaxe einer Bogensekunde entspricht, ist die Entfernung genau ein Parsec. Diese Einheiten schauen wir uns nun erst mal an.

Parsec und Lichtjahre: ganz große Entfernungen

Entfernungen sind dagegen in der Astronomie viel größer als in unserm Alltag. Sie werden daher von Astrophysikern nicht in Metern oder Kilometern angegeben, sondern in Parsec (oder Kiloparsec, Megaparsec, etc). Ein Parsec (Abkürzung $\text{pc}$ ) entspricht ungefähr $3{,}09 \cdot 10^{16}\,\text{m}$ .

Eine andere Einheit, die man oft in der Populärwissenschaftlichen Literatur findet, ist das Lichtjahr. Ein Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht im Vakuum während eines Jahres zurücklegt. Das Lichtjahr wird oft als $\text{ly}$ abgekürzt (aus dem Englischen "light year"). Ein Parsec entspricht etwa $3{,}26$ Lichtjahren.

Und es ist natürlich kein Zufall, dass eine Parallaxe von einer Bogensekunden genau einer Entfernung von einem Parsec entspricht. Denn genau so wurde das Parsec ursprünglich definiert: der Name Parsec kommt von "parallax of one arcsecond", also der Entfernung in der die Parallaxe eines Sterns genau eine Bogensekunde beträgt.

Herleitung

Wenn dir die trigonometrischen Funktionen und das Bogenmaß bekannt sind, kannst du den Zusammenhang zwischen Parallaxe und Entfernung sehr einfach herleiten.

Anhand der Skizze am Anfang dieser Seite können wir ablesen, dass:

\tan\left(\pi_p\right)=\frac{R}{D}

Dabei ist $\pi_p$ der Parallaxenwinkel, $R$ ist der Abstand zwischen Erde und Sonne (genauer: die große Halbachse der Erdumlaufbahn), und $D$ ist der zu bestimmende Abstand zum nahen Stern. Für kleine Winkel (wie Sternparallaxen immer sind, da $D \gg R$ ) gilt die Kleinwinkelnäherung:

\tan\left(\pi_p\right)\approx\pi_p

Diese Formel ist nur gültig, wenn der Winkel $\pi_p$ in Radiant (also "im Bogenmaß") angegeben wird. Damit erhalten wir

\pi_p\,[\text{rad}]=\frac{R}{D} \qquad \Rightarrow \qquad D= R \, \frac{1}{\pi_p\,[\text{rad}]}

Dabei ist $R$ für alle Sterne gleich, es ist praktisch nur eine Proportionalitätskonstante. Somit haben wir gezeigt, dass $D$ proportional zum Kehrwert von $\pi_p$ ist. Diese Formel ist allgemein gültig, solange $\pi_p$ in Radiant ist. Wenn man also z.B. $R$ in Metern einsetzt, bekommt man natürlich auch $D$ in Metern raus. Die Längenmaßeinheit Parsec wurde nun so definiert, dass 1 pc einer Parallaxe von einer Bogensekunde entspricht. In diesen ganz bestimmten Einheiten fällt $R$ also einfach weg, und es ergibt sich das oben vorgestellte Ergebnis $D\,[\text{pc}]=1 / (\pi_p\,[''])$ .

Wir können jetzt noch die Länge eines Parsecs in Metern errechnen. Dafür setzen wir einen Parallaxenwinkel von einer Bogensekunde

\pi_p=1''= \left(\frac{1}{3600}\right)^\circ = \left(\frac{1}{3600}\right)\cdot\frac{2\pi}{360}\;\text{rad}\approx 4{,}85\cdot 10^{-6}\;\text{rad}

und den Wert von $R$

R \approx 1{,}5\cdot 10^{11}\,\mathrm{m}

in die allgemeine Formel ein. Wir erhalten:

D = 1{,}5\cdot 10^{11}\,\mathrm{m} \, \frac{1}{4{,}85\cdot 10^{-6}\;\text{rad}} \approx 3{,}09\cdot 10^{16}\,\mathrm{m}

Dem entspricht also per Definition das Längenmaß von einem Parsec.

Frage 1e (Bonus, für Expertinnen)

Du beobachtest ein kugelförmiges Objekt am Himmel mit eine Ausdehnung von einer Bogensekunde. Du weißt, dass dieses Objekt ein Parsec von dir entfernt ist. Wie groß ist dieses Objekt wirklich? Tipp: diese Frage kann ganz ohne Rechnen beantwortet werden: erinnere dich daran, dass ein Parsec per Definition einer Sternparallaxe von einer Bogensekunde entspricht, und stell dir vor, dass du in dem Diagramm am Anfang der Seite auf dem Stern statt auf der Erde sitzt. Den Radius der Erdumlaufbahn um die Sonne nennt man Astronomische Einheit (abgekürzt AE).

Alles klar? Kannst du jetzt auch im Kopf ausrechnen wie groß (in AE) ein Objekt ist, das am Himmel $2''$ misst, und in einer Entfernung von 10 pc liegt? Diese Beispiele zeigen, wie nützlich und verknüpft die Einheiten Parsec und AE sind.

Merkzettel

Durch den Umlauf der Erde um die Sonne verändert sich die von uns wahrgenommene Position von nahen Sternen im Vergleich zu sehr entfernten Sternen oder Galaxien.
Nahe Sterne beschreiben somit im Laufe eines Jahres scheinbar kleine Ellipsen am Himmel, zusätzlich zu ihrer tatsächlichen Bewegung (dazu mehr auf der nächsten Seite).
Die Parallaxe entspricht der großen Halbachse dieser Ellipse, und ist ein sehr kleiner Winkel.
Je näher der Stern, desto größer ist seine Parallaxe.
Kleine Winkel werden in der Astronomie oft in Bogensekunden oder sogar Millibogensekunden angegeben.
Millibogensekunden sind Tausendstel Bogensekunden, und werden als "mas" abgekürzt (für "milliarcsecond").
Wenn man in den richtigen Einheiten rechnet, ist der Umgang mit Parallaxen sehr leicht: der Kehrwert einer Parallaxe in Bogensekunden gibt die Entfernung eines Sterns in Parsec an.
Ein Parsec entspricht etwa $3{,}26$ Lichtjahren.
Expertinnenenwissen: ein Parsec ist per Definition die Entfernung, in der man den Radius der Erdumlaufbahn (also eine Astronomische Einheit) unter einem Winkel von einer Bogensekunde sieht.

Weiter geht's zu Gaia, dem bisher besten Parallaxe-Messgerät der Menschheit!

Letzte Aktualisierung: 2021-01-18 14:47