Auflösung und Zusammenfassung

Modul 1

Laut Gaia-Katalog streuen sich die Parallaxen der am besten vermessenen Sterne von M4 um den Wert von 0,50 mas. Die Ungenauigkeiten dieser einzelnen Sternparallaxen sind mit etwas über 0,01 mas angegeben (was auch ungefähr der beobachteten Streuung entspricht). Allerdings liegt der systematische Fehler der Gaia-Parallaxen typischwerweise bei 0,1 mas, und dominiert somit in diesem Fall die die Unsicherheit.

Daraus ergibt sich:

Modul 3

Wenn die Extinktionskorrektur für M4 wie beschrieben angewandt wird, beträgt die Magnitudendifferenz zwischen den Horizontalästen von M92 und M4 ungefähr 3,1 mag.

Die Horizontaläste passen ganz gut aufeinander, aber nicht perfekt. Man könnte die Unsicherheit dieser Magnitudendifferenz mit 0,2 mag abschätzen.

Messen wollen wir

Wenn wir nun als $\Delta m$ einmal $3{,}1 - 0{,}2$ und einmal $3{,}1 + 0{,}2$ einsetzen erhalten wir

Modul 4

Wir vergleichen wieder die Helligkeit der Horizontaläste, diesmal mit Hubble-Messungen im Filter F457W. Dabei lesen wir diese Helligkeit bei der gleichen Farbe ab, z.B. bei F457W - F814W = -0,5.

Der Horizontalast von M92 liegt bei ungefähr 16 mag, und der von M31 bei 26 mag. Die Differenz beträgt also 10 mag, und wir könnten die Unsicherheit dieser Differenz vielleicht mit 0,5 mag abschätzen.

Daraus ergibt sich

Somit ist die Andromeda-Galaxie also rund 100 mal weiter entfernt als M92.

Die absolute Entfernung der Andromeda-Galaxie können wir nun durch Kombination der Ergebnisse aller Module errechnen:

Das ergibt $D_{\textrm{M31}} = 2 \,\textrm{kpc} \, \cdot 4{,}2 \cdot 100 = 840\,\textrm{kpc}$, was sehr nahe an der allgemein angenommen Entferung liegt (siehe z.B. den Wikipedia-Eintrag zu M31)! Sogar viel zu nahe, wenn man unsere Unsicherheiten betrachtet: wir haben also Glück gehabt, ein so gutes Ergebnis zu erzielen!

Wie hier im Modul 4 besprochen, ist es nicht einfach die Unsicherheit auf $D_{\textrm{M31}}$ korrekt auszurechnen. Für die wissenschaftliche Fragestellung bringt es ja auch nicht viel, so eine Berechnung mathematisch perfekt aber mit nur grob geschätzten Unsicherheiten zu machen.

Wenn wir die besprochene Annnahmen machen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Unsicherheiten einer Normalverteilung folgen, dass alle Unsicherheiten von einander unabhängig sind, und dass wir unsere Unsicherheiten als Standardabweichungen (also typische Abweichungen) sehen, dann würden wir die Unsicherheit von $D_{\textrm{M31}}$ mithilfe folgender Gleichung bestimmen:

Die relative Unsicherheit auf $D_{\textrm{M31}}$ ($\sigma_g/g$ in der obigen Gleichung) ist somit $\sqrt{(0{,}2)^2 + (0{,}1)^2 + (0{,}25)^2}$, was $33\%$ entspricht.

Und daher:

Wahrscheinlich ist diese Einschätzung etwas pessimistisch, da wir hier unsere Schranken zu Standardabweichungen gemacht haben. Für eine verbesserte Analyse könnte man tatsächliche Standardabweichungen nutzen, und auch die Abhängigkeit von $D_{\textrm{M92}}/D_{\textrm{M4}}$ und $D_{\textrm{M31}}/D_{\textrm{M92}}$ besser beschreiben.

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