Weshalb ist die Leuchtkraft L der Hauptreihensterne etwa proportional zur Masse³?

K. S. de Boer, Sternwarte, Univ. Bonn

Die schnelle Antwort auf die eben gestellte Frage ist, dass die Sterne links und oben auf der Hauptreihe massereicher sind als die rechts unten. Aber mehr Masse führt nicht notwendigerweise zu mehr Leuchtkraft, und umgekehrt geht eine höhere Leuchtkraft nicht gleich auf mehr Masse zurück. So werden sich Sterne wie die Sonne zu Roten Riesen entwickeln, haben dann eine sehr viel größere Leuchtkraft, aber noch immer die gleiche Masse. Hier soll die Logik der Relation der Hauptreihensterne dargestellt werden.

Die klassische Unmöglichkeit der Kernfusion in der Sonne

Die Leuchtkraft L eines Sterns wird letztendlich bestimmt durch die Energieerzeugung im Sterninneren. Im Hauptreihenstadium wird im Inneren des Sterns über Fusionsprozesse Wasserstoff (H) zu Helium (He). Die Endsumme der dabei auftretenden verschiedenen Fusionsschritte kann gegeben werden durch

Um von H zu He zu kommen, müssen im ersten Schritt der Fusionskette zwei Protonen veschmelzen (daher die PP-Kette). Die Verschmelzung erfolgt aber nicht einfach so, da Protonen positiv geladen sind und sie sich um so stärker gegenseitig abstossen je näher sie zueinander kommen.

Eine einfache Berechnung zeigt, dass Protonen nur dann in der Lage sind, die gegenseitige Coulomb-Potentialbarriere mit Energie EP zu überwinden, wenn sie eine sehr große gegenseitige Geschwindigkeit haben. Die notwendige kinetische Energie (mv²/2= E =3kT/2) wäre nur bei sehr hohen Temperaturen erreichbar. Eine andere, etwas weniger einfache Berechnung zeigt, dass im Sonneninneren die Temperatur etwa 10-20 Million Grad ist und damit ein Faktor von mehr als 100 zu niedrig für das Auftreten von Proton-Proton-Fusion! Woher kommt dann die Leuchtkraft der Sonne und der anderen Hauptreihensterne?

Weshalb gibt es doch Fusion?

a. Die Form der Potentialbarriere

Die Coulomb-Potentialbarriere liegt bei der Energie EP. Wenn aber zwei Teilchen sich nähern, steigt die abstossende Wirkung, und zwar wie 1/r² mit der Entfernung r, also je näher desto größer. Es ist klar, dass nur Teilchen mit wirklich hoher Energie sich wirklich sehr nahe kommen können.

b. Wahrscheinlichkeit laut Quantenmechanik

Die Quantenmechanik zeigt, dass auch unwahrscheinliche Prozesse noch mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auftreten. Dies trifft auch auf das Verschmelzen von Protonen, also die Kernfusion, zu. Die Protonen verschmelzen nicht wirklich, sondern die starke Interaktion bewirkt eine Transformation eines der Protonen in ein Neutron, das beim Proton bleibt. Also P + P --> D, mit D = Deuterium.

c. Temperatur und Verteilungsfunktion der kinetischen Energie

In einem Gas mit Temperatur T haben nicht alle Teilchen die gleiche kinetische Energie E=3kT/2=mv²/2. Es gibt in jedem Gas langsamere und auch schnellere Teilchen. Im Mittel ist die kinetische Energie eines Teilchens durch die Formel gegeben, aber die Energie der individuellen Teilchen ist breit gestreut und zwar wie die Glockenfunktion (oder auch Gauss-Funktion). Dies bedeutet, dass es immer auch Teilchen gibt mit einer Energie, die sehr viel größer als die des Mittelwerts ist. So gibt es auch Teilchen, die eine größere Energie haben als die Potentialbarriere der PP-Fusion. Diese Teilchen können deswegen doch zur Fusion kommen. Von solchen gibt es im Inneren des Sterns allerdings nur ganz wenige!

Resultat für das Auftreten der Fusion

Diese beiden Funktionen überlappen sich im Bereich der Energie der Potentialbarriere geringfügig (siehe Bild unten) und ihr Produkt ist eine Funktion mit einem Maximum in der Nähe von EP. Dieses Maximum wird nach Gamow benannt, der diese Effekte als erster untersucht hat.

Grafische Darstellung der für die Kernfusionsrate relevanten Funktionen. Links die Verteilungsfunktion der kinetischen Energie der Teilchen (Ekin). Rechts die Coulomb-Potentialbarriere. Mitte: Das Produkt beider Funktionen liefert die Fusionsrate. Im Überlappbereich hat das Produkt einen von null unterschiedlichen Wert. Das Maximum der Produktfunktion ist das sogenannte "Gamow-Maximum". Die Gamow-Kurven sind allerdings stark erhöht dargestellt. Die gestrichelte Kurve für Ekin ist für eine nur 10% höhere Temperatur als die volle Kurve. Dieser Temperaturunterschied liefert eine nahezu zweimal so hohe Fusionsrate, wie aus der Höhe der dazu gehörenden Maxima der Gamow-Kurven ersichtlich ist.

Temperaturabhängigkeit der Fusionsrate

Deshalb L etwa wie M³

In Sternen der unteren Hauptreihe findet nur die Fusion von H zu He über die oben erwähnte PP-Kette statt. In massereicheren Sternen, die heisser im Inneren sind, tritt auch eine andere, schnellere Fusionsreaktion von H zu He auf, die über die Atome von vorhandenem Kohlenstoff als Katalysator läuft. Dieser Reaktionsprozess ist viel ergiebiger, so dass auch deswegen die massereicheren Sterne überproportional mehr an Energie produzieren. Und schliesslich ist im Inneren der massereichsten Sterne (von denen es allerdings nur ganz wenige gibt) die Temperatur derart hoch, dass zusätzlich sogar He zu C fusioniert. Auch dieser Prozess ist sehr ergiebig.

Alles zusammen macht daher klar, dass L mit einer Potenz der Masse korreliert, ein Exponent von im Mittel 3. Aus anderen Überlegungen folgt, dass dieser Exponent kleiner als 3 ist bei Sternen der unteren Hauptreihe, größer als 3 bei Sternen der oberen Hauptreihe. Eine davon ist, dass die Fusion nicht nur im Zentrum, sondern in einem größeren Bereich des Sterninneren stattfindet, Bereiche in der die Temperatur nicht überall gleich ist und die daher auf unterschiedliche Art zur Gesamtenergieproduktion beitragen. Eine genaue Argumentation, die zum Wert des Exponenten führt, ist nicht einfach zu geben, da sehr viele verschiedene physikalische Prozesse zusammenspielen.