Eine sehr wichtige Methode zur Erfassung der Systematiken der physikalischen Prozesse ist die Beschreibung mit mathematischen Ausdrücken. Sie werden benutzt um physikalischen Prozesse und komplizierten Systeme zu modellieren.
Stichwörter: Mathematische Relationen Fehler und Statistik Modellierung Literatur
Lineare und quadratische Relationen
Die Auslenkung a einer Feder ist proportional zu der aufgewendeten
Kraft F: F = k a ;
darin ist k eine Normierungskonstante.
Die Fallgeschwindigkeit v eines Körpers ist
proportional zum Quadrat der Zeit t seit Beginn des Fallens:
v = 1/2 g t2;
darin ist g die Gravitationskonstante.
Multiplikative Relationen
Wenn über einen Widerstand R ein Strom I fliesst,
findet man eine Spannung U durch Multiplikation:
U = R I
(siehe bei Elektromagnetismus:
Ohm'sches Gesetz).
Exponentialfunktionen
Die Druckverteilung in der Erdatmosphäre mit Höhe x
wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben,
in der die Konstante h im Nenner des Exponenten eine
Normierung bewirkt: P = k e(-x/h).
Eine andere Exponentialfunktion ist die nach Gauss:
W = k e-x2/b ,
die sogenannte Glockenfunktion (siehe unten bei Statistik).
Zyklische Relationen
Viele Prozesse verhalten sich periodisch,
z.B. die Bewegnung des Pendels eines Pendeluhrs.
Die Amplitude a des Pendels wird in seiner Zeitabhängigkeit
mit einer Winkelfunktion beschrieben:
a = amax sin(t) ;
darin ist t die Zeit in Einheiten der Periode der Schwingung.
Eine andere Art der Schwingung ist die der fortschreitenden
elektromagnetischen Wellen,
z.B. die Trägerwellen von Radio und Fernsehen
(siehe Elektromagnetismus),
die u.a. durch schwingende elektronische Schaltkreise erzeugt werden.
Die Amplitude A und Lage x in der Zeit t
werden beschrieben mit einer `e'-Funktion mit komplexem Exponent:
A(x,t) = A0 ei(kx-wt) ;
darin ist k ein Parameter für die Eigenschaften des Mediums und
w die Frequenz der Welle.
Eine wichtige zyklische Relation ist die der
Sonnenflecken.
In einem etwa 22 jährigen sinusartigen Zyklus ändert sich
die Zahl der Sonnenflecken.
In der zweiten hälfte des Zyklus sind die Flecken anders polarisiert
als in der ersten Hälfte;
daher wird oft von einem etwa 11 jährigen Zyklus gesprochen.
Integral- und Differentialfunktionen
Die Bestimmung des Ertrags eines Prozesses wird durch Summierung der
fortlaufenden Zwischenergebnisse erreicht.
Bei diskreten Prozessen kann man sie zählen und aufaddieren:
Summe = y1 + y2 + y3 + .....
wobei y eine Funktion anderer Parameter sein kann,
z.B. y = F(x,t).
Bei kontinuierlichen Prozessen wird das Gesamtergebnis am besten mit Hilfe
einer Integration beschrieben.
Die Prozedur basiert im Grunde auf Summation kleinster Beiträge,
dS = y dt,
mit S =∫ y dt.
Ein Beispiel einer Differentialgleichung wäre die
Schrödingergleichung.
Rekursive Relationen
Bei vielen Prozessen hängen die Werte von aufeinanderfolgenden
Ergebnisse derart zusammen,
dass sie einander beeinflussen.
So nimmt, z.B., bei der Bildung von Kristallen der Gehalt
des auszukristallisierenden Stoffes in der Flüssigkeit ab,
wodurch die Kristallisation langsamer wird.
Oder, z.B., bei der Kernfusion im Sterninneren wird die Fusionsrate von
Wasserstoff zu Helium allmählich geringer,
da es bei fortschreitender Verwandlung von H in He allmählich
immer weniger H-Atome gibt und daher die H-Atome nicht mehr
so häufig zusammentreffen um zu Fusionieren.
Auch Variationen in der Grösse der Population von Tier- und Pflanzenarten
wird durch solche Bedarfsprobleme gesteuert.
Die Prozesse werden mit `rekursiven Relationen' beschrieben.
Eine der bekanntesten,
die auch die genannte Beispiele beschreibt, lautet
xnext = r x (1-x),
wobei r eine Konstante ist.
Rekursive Relationen können `chaotisches' Verhalten zeigen,
wobei der Wert von r bestimmt,
wie und nach wie vielen Schritten dieses Verhalten sichtbar wird.
Chaotisch heisst hier: die Relation hat kein stabiles Verhalten.
Die Erforschung rekursiver Relationen führte zu vielen
Entdeckungen mathematischer Natur über Chaos und Fraktale.
Siehe dazu das Buch "Chaos" von J.Gleick.
Insbesondere die rekursive Beziehung von Mandelbrot lieferte
wunderschöne fraktale Figuren
(siehe Webseite über
Fraktale
bei Mathematik der Universtät Bremen
oder das Buch von Peitgen, Jürgens & Saupe: "Chaos").
Einige Beispiele von Modelliering komplexer Systeme sind:
Modelle für die elementare Struktur der Materie
Auf Grund vieler Untersuchungen an Atomen, Atomkernen, und
subatomaren Teilchen ist die Idee der Elementarteilchen entstanden.
Die Wechselwirkungen dieser Teilchen mit Hilfe der
`Botschafterteilchen' kann mathematisch modelliert werden.
Einzelheiten sind bei
Teilchenphysik (Physik des Monats) gegeben.
Modelle für Atome und Spektren
Das Bohrsche Atommodell beschreibt die Bewegung der Elektronen um den
Atomkern mit Hilfe von Pendelfunktionen
(siehe Atomphysik).
Eine deutliche Verbesserung brachte die
Quantenmechanik.
Die vielen Möglichkeiten die Atome in Gasen haben Licht zu absorbieren,
liefern komplizierte Spektren,
die auch modelliert werden können.
Modelle für Sterne und für Sternentwicklung
Sterne sind gravitativ gebundene Gaskugeln die durch inneren Druck
(Dichte und Temperatur) zu stabilen Kugeln werden.
Im Sterninnern
laufen Kernfusionsprozesse ab,
die die Energie
(E = m c2, eine lineare Relation mit
c2 nur eine Proportionalitätskonstante;
siehe auch
Kernphysik)
zur Aufrechterhaltung der inneren Druck liefern,
eine Energie die schliesslich als Strahlung
an der Oberfläche des Sterns weggestrahlt wird.
Die Struktur der Sterne
kann gut modelliert werden,
was zu besserem Verständnis der Entwicklung der Sterne führt.
Modelle für Luftbewegung und Wettervorhersage
Durch Sonneneinstrahlung erwärmt sich die Luft der
Erdatmosphäre und die Erdoberfläche.
Dadurch werden konvektive Strömungen
(Aufstieg und Rückkehr von Luftmassen) in Gang gesetzt.
Diese Bewegung führt bei der sich drehenden Erde zu gekrümmten
Luftströmungen und Druckunterschieden.
Dadurch bilden sich die Wettersysteme mit Wolken und Niederschlag.
Die durch Sonnenwärme und Wind angetriebenen Ozeanströme
bilden weitere Parameter im Wärmehaushalt der Erde.
Mit Modellierung dieser sehr komplexen Vorgänge wird versucht
die Luftbewegungen und die Niederschläge, kurzum,
das Wetter vorherzusagen
oder die Änderungen des Klima zu erforschen.
Anmerkung:
Bei allen Modellen gilt, dass es eben Modelle sind,
die nicht immer die Realität mit absoluter Genauigkeit beschreiben.
Dennoch ist Modellierung der Weg komplizierte Systeme
besser zu verstehen.
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