Vorlesung: Einfuehrung in die Astronomie, Bonn; Rechnen

Rechengeschick für die Einführung in die Astronomie

In der Astronomie decken viele der Parameter große Wertebereiche ab und es wird oft mit großen Zahlen gearbeitet. Es ist daher sehr nützlich, gut mit Exponenten (10-er Grundzahl) umgehen zu können sowie das Logarithmieren ohne Taschenrechner zu lernen. Des weiteren muss man in Magnituden-Einheiten rechnen können. Es folgen hier Daten, die dies zugänglich machen.

Das Rechnen mit Logarithmen

Um einfach zu Logarithmen von Zahlen zu kommen (in der Astronomie immer mit 10 als Grundzahl), soll bedacht werden, dass die meisten in der Astronomie abgeleiteten Werte eine Genauigkeit von 10 bis 30% haben (und manchmal noch weniger genau!). Damit gibt es höchstens (und sicher in einer Überschlagrechnung) nur zwei signifikante Ziffern in einer Zahl.

Die Logarithmen sind einfach herleitbar, sogar wenn man sich auf die Zahl 2 beschränkt. Man muss wissen, dass ¹⁰log 2 = 0.3.

Zahl	1	1.3	1.6	2.0	2.5	3.0	4.0	5.0	6.0	8.0	10
¹⁰log	0.000	0.114	0.204	0.301	0.398	0.477	0.602	0.699	0.778	0.903	1.000
Rundung	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0

Bedenke: 2x2=4, so dass nach Logarithmieren 0.3+0.3=0.6,
10/2=5, so dass nach Logarithmieren 1.0-0.3=0.7.
10/4=2.5, so dass nach Logarithmieren 1.0-(2x0.3)=0.4.
2x2x2=8, so dass nach Logarithmieren 0.3+0.3+0.3=0.9
Die verbleibende einfache Werte kann man mit vernüftigem Abschätzen interpolieren.
Wurzel aus 10 ist 3.12, und die Logarithme ist (1/2)x(log 10)=0.5, daher: log 3 ist etwa 0.5
2x3=6, so dass nach Logarithmieren 0.3+0.5=0.8

30% entspricht einem Faktor 1.3; nach Logarithmieren ist dies 0.1

Rechnen mit Exponenten ist einfach. Es ist wichtig die Werte der Tabelle zu verstehen, damit man logarithmische Darstellungen (z.B. die der Planck-Funktion) verstehen kann.

Zahl	1	10	1000	10⁴	1 Million	0.1	10^-2	1/1000	0.0001	0.0002
Logarithmus	0.0	1.0	3.0	4.0	6.0	-1.0	-2.0	-3.0	-4.0	-3.7

Merke die negativen Werte bei den logarithmierten Zahlen und verstehe weshalb sie negativ sind.

Magnituden

Magnituden sind anfänglich lästig, aber man kann lernen, damit schnell zu rechnen. Für eine Strahlungsintensität I und die dazugehörige Magnitude m gilt:
m=-2.5 log I und I=10^(-0.4 m) .
Beispiele (immer als Verhältnis gedacht, daher ohne Minus-Zeichen):
10 Magnituden entsprechen einem Verhältnis von 10⁴ in I.
1 Magnitude entspricht einem Verhältnis von 10^0.4=2.5 in I (Logarithmen, oben!).

Prozentuale Genauigkeiten in der Photometrie sind einfach abzuschätzen:
30% ist ein Faktor 1.3, logarithmiert ist dies 0.11, in Magnituden etwa 0.3
10% ist ein Faktor 1.1, logarithmiert ist dies 0.04, in Magnituden 0.1

Merkenswerte Zahlen, Werte, Berechnungen

Im folgenden sind alle Werte mit "astronomischer" Genauigkeit angegeben. Also: 3.12 wird gerundet zu 3 aber es gelten auch die "Gleichheiten" 10^0.5=π=3, und 3²=etwa 10.

Entfernungseinheit: 1 pc = 3x10¹⁸cm; logarithmiert: 18.5
Lichtgeschwindigkeit: 300000 km s^-1= 3x10¹⁰ cm s^-1; logarithmiert 10.5
Zahl der Sekunden in einem Jahr: 3x10⁷.
--> Zur Überquerung von 1 pc braucht Licht daher 10⁸ Sekunden = 3 Jahre.
Eine Transformation der Geschwindigkeitseinheit der Astronomie liefert, dass 1 km pro Sekunde äquivalent ist mit 1 pc pro Myr.

Wieviel Zeit braucht die Sonne, um sich in ihrer Bahn in der Galaxis über ihren eigenen Durchmesser zu verlagern?
Die Sonne hat in ihrer Umlaufbahn eine Geschwindigkeit v von etwa 220 km s^-1. Der Radius r der Sonne ist etwa 7x10⁵km.
Die Sonne braucht dafür (r)/(v). Die Berechnung (logarithmische Werte): 5.85-2.32=3.53 (logarithmierte Sekunden), also etwa 1 Stunde. (Was ist groß und was ist schnell?)

Wie oft umkreiste die Sonne in ihrem Leben das galaktische Zentrum?
Das Alter a der Sonne ist etwa 4.5 Milliarden Jahre (10^9.65). Die Entfernung zum Zentrum der Galaxis R ist etwa 8.5 kpc.
Die Sonne braucht für einen Umlauf 2π(R)/(v). Dies ist (logarithmierte Zahlen eingesetzt und umgerechnet in cgs-Einheiten) 0.3+0.5+(0.9+3+18.5) -(2.3+5) = 15.9 Sekunden (logarithmischer Wert), also 15.9-7.5 = 8.4 (logarithmierte Jahre) also für einen Umlauf u etwa 250 Millionen Jahre. Die Sonne machte daher bis jetzt a/u=4500/250 = etwa 18 Umläufe. (Was ist alt und was ist schnell?)

Ist die Andromeda-Galaxie weit entfernt?
Die Entfernung der Andromeda-Galaxis ist etwa 670 kpc. Der Durchmesser unserer Milchstraße ist etwa 30 kpc. Die Entfernung der Andromeda-Galaxis ist daher nur etwa 20 Galaxiendurchmesser, also nicht sehr weit nach kosmischen Maßstäben.

Was ist die scheinbare Helligkeit der RR Lyr Sterne im Kugelhaufen M 13 und in der Andromeda-Galaxis M 31?
Die Absolute Helligkeit (10 pc!) der RR Lyr Sterne ist M_V=0.6 mag. Die Entfernung von M 13 ist etwa 6 kpc. Das Entfernungsverhältnis von M 13 und 10 pc ist 6000/10=600=10^2.8; Licht ist schwächer mit dem Quadrat der Entfernung. Mit Umrechnung in Magnituden liefert dies (logarithmische Werte) 2.5x2(2.8)=14 mag; die RR Lyr Sterne in M 13 haben daher etwa V=14.6 mag.
Das Entfernungsverhältnis Andromeda/M 13 ist 670/6=110= etwa 10², so dass die RR Lyr in M 31 2.5x2(2)=10 mag schwächer sind als in M 13, und sie deswegen eine Helligkeit von etwa V=24.6 haben. Sie sind damit gerade noch mit dem VLT in nicht allzu dichten Sternfeldern in M 31 erkennbar!

2005.01.03 KSdB (+2005.04.18) www.astro.uni-bonn.de/~deboer/eida/eida-rechn.html